Betrachtet wird das folgende physikalische Problem: Ein kugelförmiges Teilchen bewegt sich in einem flüssigen Lösungsmittel und in einer bergigen Potential-Landschaft mit zwei gleich tiefen Tälern, welche durch eine Barriere getrennt sind. Ein solches Teilchen ist üblicherweise sehr klein und hat einen Durchmesser von einigen wenigen Mikrometern.
Das flüssige Lösungsmittel bewirkt durch seine Zähigkeit eine Reibungskraft auf das Teilchen. Nach der Stokesschen Formel F=-6*pi*eta*v ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit v und führt somit zu einer starken Abbremsung des Teilchens. Weiterhin wirken zufällige stochastische Kräfte des Lösungsmittels auf das Teilchen, schubsen dieses unregelmäßig hin und her und führen zu einer Brownschen Bewegung. Nach dem Fluktuations-Dissipations-Theorem ist eine Reibungskraft immer mit einer stochastischen Kraft verbunden. Die Stärke von beiden wird durch die Zähigkeit eta des flüssigen Lösungsmittels parametrisiert. Zusätzlich hängt die stochastische Kraft von der Temperatur T des Lösungsmittels ab. Mit wachsender Temperatur wird die stochastische Kraft stärker, und das Teilchen wird mehr herum geschubst.
Um das Problem zu vereinfachen, wird die Bewegung des Teilchens nur in eine Richtung betrachtet. Wir nehmen dazu die x-Achse. Die Position des Teilchens wird also durch eine Koordinate x beschrieben. Das Potential U=U(x), welches die bergige Landschaft beschreibt, ist ein Polynom vierten Grades mit zwei gleich tiefen Minima bei x=-1 und x=+1 und einem lokalen Maximum bei x=0. Die Täler befinden sich also bei x=-1 und x=+1, und die Barriere befindet sich bei x=0. Die Neigung der Potential-Landschaft führt zu Kräften auf das Teilchen den Hang hinunter nach der Formel F=-grad(U).
Die Bewegung des Teilchens in Abhängigkeit der Zeit wird durch eine Langevin-Gleichung definiert, welche eine stochastische Differential-Gleichung in der Zeit ist. Durch Lösen der Gleichung erhalten wir für das Teilchen die Position x=x(t) als Funktion der Zeit t. Diese Aufgabe wird von unserem Computer-Programm durchgeführt, welches man sich nachfolgend herunterladen kann.
Am Anfang befindet sich das Teilchens in einem der beiden Tälern. Die Kraft des Potentials F=-grad(U) bewirkt, dass das Teilchen den Abhang in das Tal hinunterrollt. Die Reibungskraft F=-6*pi*eta*v bremst das Teilchen ab und möchte es am tiefsten Punkt des Tals zum Stillstand bringen. Dagegen wirkt die stochastische Kraft, welche das Teilchen immer wieder anstößt und zu einer unregelmäßigen Bewegung führt. Wenn die Zufälle günstig sind, wird das Teilchen in eine Richtung mehrfach so stark angeschoben, dass es über die Barriere in das andere Tal gelangen kann.
Wir beobachten also eine unregelmäßige Bewegung des Teilchens in dem einen oder in dem anderen Tal, und manchmal einen Sprung von einem Tal in das andere Tal und wieder zurück. Wie oft diese Sprünge stattfinden, hängt von der Temperatur T ab. Für kleine Temperaturen ist die zufällige Bewegung schwach. Das Teilchen befindet sich meistens in einem Tal und springt nur sehr selten in das andere Tal. Für wachsende Temperaturen wird die zufällige Bewegung größer, und die Sprünge werden öfter. Für große Temperaturen sind die Sprünge sehr häufig, und die Barriere stellt nur ein kleines Hindernis dar.
Findet die Bewegung über einen längeren Zeitraum statt, so lässt sich aus der Funktion x=x(t) eine Wahrscheinlichkeits-Verteilung P=P(x) berechnen, die aussagt, an welcher Position x sich das Teilchen mit welcher Wahrscheinlichkeit P befindet. Diese berechnete aktuelle Wahrscheinlichkeits-Verteilung kann man mit einer theoretischen Wahrscheinlichkeits-Verteilung des thermischen Gleichgewichts vergleichen.
Das Computer-Programm gibt es in vier verschiedenen Versionen als binäre Software-Pakete, welche aus EXE- und DLL-Dateien bestehen, die für Windows Computer compiliert wurden. Laden Sie eines der Software-Pakete herunter:
Packen Sie das Software-Paket aus, und starten Sie die EXE-Datei. Es geht ein Fenster auf mit graphischer Benutzer-Oberfläche. Klicken Sie anschließend auf der Werkzeugleiste nacheinander auf die Buttons
Durch Klicks auf die Elemente in dem linken weißen Bereich können Sie auswählen, ob Sie sich die Bewegung des Teilchens x=x(t) oder die Wahrscheinlichkeits-Verteilung P=P(x) ansehen möchten. Beginnen Sie die Berechnung erneut und ändern Sie unter den Parametern die Temperatur ab. Beobachten Sie was dann passiert. Verändern Sie unter den Parametern die Anzahl der Komponenten, so werden mehrere Berechnungen gleichzeitig ausgeführt und angezeigt. Experten dürfen auch die anderen Parameter verändern und beobachten, was passiert.
Für Experten wird das Quellcode-Paket zum Herunterladen angeboten:
Wir haben das Computer-Programm erfolgreich auf Linux- und Windows-Betriebs-Systemen compiliert und getestet. Es sollte auch auf anderen Systemen funktionieren. Sie benötigen die plattform-übergreifenden Software-Bibliotheken Qt5 und die Entwicklungs-Umgebung QtCreator. Diese können Sie hier herunterladen.
Wir wünschen viel Spaß und wissenschaftliche Erleuchtung mit unserem Computer-Programm.